Community project by students of the Faculty of Information Technology, University of Moratuwa, Sri Lanka.

4.2.1 කානෝ සිතියම් යොදාගෙන තාර්කික ප්‍රකාශ සුළු කිරීම (Simplify Boolean Expressions Using Karnaugh Maps)

කානෝ සිතියම සකස් කිරීම (Preparing Karnaugh Map)


තාර්කික  ප්‍රකාශනයක්  (boolean expression)  යනු  යම්කිසි ගැටළුවකට ඇති  තර්කානුකුල විසදුමයි . අවසානයේදී මෙම තාර්කික ප්‍රකාශනය, තාර්කික ද්වාර (logic gates) යොදාගෙන  පරිපථයක්  (circuit)  සැදීම සදහා යොදා ගනී.  මේ නිසා  තාර්කික ප්‍රකාශනය දිගින් වැඩිවෙන විට ඒ සදහා යොදාගත  යුතු  තාර්කික ද්වාර (logic gates) ගණන වැඩිවේ. ඒ නම් පරිපථය (circuit) සැදීමට යන වියදමද  වැඩිවේ, පරිපථයේ ප්‍රමාණයද (size) වැඩිවේ.මෙම කරුණු නිසා අපි සැමවිටම අපේ තාර්කික ප්‍රකාශනය හැකි තරම් සරල කර ගත යුතුවේ.

උපුටාගැනීම :https://en.wikipedia.org/wiki/File:Veitch_and_Karnaugh_truth_table_4.jpg
 

ප්‍රධාන වශයෙන් තාර්කික ප්‍රකාශන සුළු කරන ක්‍රම 2 ක්ඇත. ඒවානම් 



  • වීජ ගණිතමය ක්‍රම යොදාගෙන (using Boolean algebra)
  • කානෝ සිතියම් යොදාගෙන (using Karnaugh Map)

 



මීට අමතරව  පරිගණක වැඩසටහන් යොදාගෙනද තාර්කික ප්‍රකාශන සුළු කිරීම කල හැක.


මේ ක්‍රම දෙකෙන් සරලම ක්‍රමය වන්නේ වීජ ගණිතමය ක්‍රම යොදාගෙන තාර්කික ප්‍රකාශන සුළු කිරීමයි. නමුත් මේ ක්‍රමය වඩා  කාර්යක්ෂම වෙන්නේ සුළු කිරීමට ඇති විචල්‍යන් ගනන 3 ට වඩා අඩු විටදී පමණයි. සුළු කිරීමට ඇති  විචල්‍යන් ගනන 3 ට වඩා වැඩි වන විටදී තාර්කික ප්‍රකාශන සුළු කිරීමට  කානෝ සිතියම් (Karnaugh map) යොදා ගැනීම වඩා කාර්යක්ෂම වේ. මේ ක්‍රමය( කානෝ සිතියම් යොදාගෙන සුළු කිරීම) මුලින්ම හදුන්වාදෙනු ලැබුවේ Maurice Karnaugh කියන ඇමෙරිකානු ජාතික භෞතික විද්‍යාඥයා විසින් 1953 වසරේ දීය. මිනිසාගේ රටා හදුනාගැනීමේ (pattern-recognition) හැකියාව ප්‍රයෝජනයට ගෙන කානෝ සිතියම්, තාර්කික ප්‍රකාශන සරල කිරීම සිදුකරයි.වීජ ගණිතමය (&Boolean algebra) ක්‍රමයට සාපේක්ෂව කානෝ සිතියම්(Karnaugh map) යොදා ගැනීමේදී  තාර්කික ප්‍රකාශන වඩා වේගවත්ව හා පහසුවෙන්  සරල කිරීම සිදු කල හැක.
 
තාර්කික ප්‍රකාශන සුළු කිරීමට කානෝ සිතියම් (Karnaugh map) යොදාගන්නා ආකාරය උදාහරණයක් මගීන් සලකා බලමු.

 

පහත දැක්වෙන සත්‍යතා වගුව(truth table) සලකා බලන්න.

 

 

 


 

මෙම සත්‍යතා වගුවට (truth table) අනුව ලැබෙන තාර්කික ප්‍රකාශනය වන්නේ ,

 

වේ. මෙම තාර්කික ප්‍රකාශනය,

 

F =AC’ + AB’ + BCD’  ලෙස සරල කල හැක.
 

 

මෙම උදාහරණයේදී විචල්‍යන් 4 (A,B,C,D)  ක් එකිනෙකට වෙනස් සංකරණ (combinations) 16 ක්  ලබා දේ. ඒ නිසා සත්‍යතා වගුවහි පේළි (rows) 16 ක්ඇත. එමනිසා කානෝ සිතියමෙත් ස්ථාන 16 ක් ඇත. එම නිසා කානෝ සිතියම  4×4 චතුරස්‍රයක් ලෙස සකස් කරනු ලබයි. ඊලගට කානෝ සිතියම පහත පරිදි අංකනය කරනු ලැබේ.
 

 

 
ඉහත රූපයේ පේළි (row) සහ තීරු (column)  සදහා වන  අගයන් (values) ඉහලින් හා වම් පසින් ද්විමය සංඛ්‍යා (binary numbers)  වලින් දක්වා තිබේ. ස්ථානනීය අගයන් කොටුව තුල  දශමය සංඛ්‍යා (decimal numbers) වලින් දක්වා ඇත.පේළි (row) සහ තීරු (column)  සදහා වන  අගයන් (values) යොදන්නේ සාමාන්‍ය ගනින පිළිවලට නොව Gray code එකට අනුවයි. Gray code එකට අනුව එක ලග ඇති කොටු (cells) වල පේළි (row) සහ තීරු (column)  සදහා වන  අගයන් (values) වෙනස් වන්නේ එක් විචල්‍යක පමණි.(උදා : 0[0] ට පසුව 0[1], [0]1 ට පසුව [1]1, 1[1] ට පසුව 1[0], ආදී ලෙස)
විචල්‍යන් 3 ක් (A,B,C) ඇති විට කානෝ සිතියම පහත පරිදි වේ.
 
 
විචල්‍යන් 5 ක් (A,B,C,D,E) ඇති විට කානෝ සිතියම පහත පරිදි වේ.
 

 


 

නැවතත් අපගේ උදාහරණය සලකා බලමු. දැන් කානෝ සිතියමට සත්‍යතා වගුවහි ඇති අගයන් පුරවා ගත යුතුය. ඒ සදහා සත්‍යතා වගුවහි  ප්‍රතිදානය (A ,B ,C ,D ) හි අගය 1 වන අවස්ථා වලදී  කානෝ සිතියමේ  අනුරූප ස්ථානයේ 1 සටහන් කල යුතුය. අනෙකුත් ස්ථාන වල 0 යොදන්න. මේ අනුව පුරවා ගත්  කානෝ සිතියම පහත දැක්වේ.



කානෝ සිතියම සුළු කිරීම ( Simplifying Karnaugh map )

දැන් අපි  කානෝ සිතියම හදල ඉවරයි. එත් දැන් තමයි අමාරුම කොටස තියෙන්නේ. ඒ කියන්නේ  කානෝ සිතියම එක සුලු කිරීම. කානෝ සිතියම සුළු කිරීමට යොදා ගන්නේ 1 අගයන් පමණි. 0 අගයන් නොසලකා හරී.
කානෝ සිතියමහි එක ලග පිහිටි 1 හි  අගයන් තාර්කික ප්‍රකාශනය (boolean expression ) සුළු කල හැකි අවස්ථා දක්වයි. මේ  අනුව එක ලග පිහිටි 1 අගයන් 1,2,4,8…(2 හි බලයන් ) ආදී ලෙස කාණ්ඩ (group) වලට (සමචතුරශ්‍ර  හෝ සෘජුකෝණාශ්‍ර හැඩති) බෙදනවා.

මෙසේ 1 හි අගයන් කාණ්ඩ (group) වලට බෙදීමේදී 0 හි අගයන් හසු නොවන පරිදි හැකි තරම් විශාල ලෙස සමචතුරශ්‍ර  හෝ සෘජුකෝණාශ්‍ර හැඩති කාණ්ඩ (groups) වලට  බෙදිය යුතුය. මෙම චතුරශ්‍ර එක මත එක වැටිය (overlap) හැක. අප අවසානයේදී  ලබාගන්නා තාර්කික ප්‍රකාශනයහි ( boolean expression) සරල බව මෙම කාණ්ඩ (group) වල බෙදීම මත රදාපවතී.
මෙසේ කාණ්ඩ වලට බෙදීමේදී කානෝ සිතියමෙහි දෙකෙළවර හෝ ඉහළ/පහළ සම්බන්ද වන ලෙසද කාණ්ඩ සකස්කළ හැක.

උදා :-

 

 

 


ඉහත උදාහරණය එසේ  කාණ්ඩ (groups) වලට බෙදා සකස් කල විට කානෝ සිතියම (Karnaugh map)  පහත පරිදි වේ.
F =AC’ + AB’ + BCD’

 



 

අමාරුම ටික දැන් ඉවරයි. දැන් කරන්න තියෙන්නේ අපි හදපු කාණ්ඩ (groups) වලට අදාල සරල ප්‍රකාශන (expression) ටික ලබා ගැනීමයි. ඒ සදහා කල යුත්තේ අදාල චතුරස්‍රය තුල වෙනස් නොවන ස්ථානනීය අගය ලබා ගැනීමයි.



ඉහත අපගේ උදාහරණයට අනුව රතු පැහැති චතුරස්‍රයේ ස්ථානනීය අගයන් වන්නේ11(AB), 10(AB’) හා 00(C’D’), 01(C’D) වේ.


ඒ අනුව

A හි අගය 1(A) චතුරස්‍රය පුරා නොවෙනස්ව ඇත.
B හි අගය 1(B)  සිට 0(B’) දක්වා වෙනස් වී ඇත.
C හි අගයද වෙනස් වී නැත.එය 0 ම(එනම් C’) වේ.
D හි අගයද 0(D) සිට 1(D) දක්වා වෙනස් වී ඇත.



මේ අනුව වෙනස් නොවන අගයන් වන්නේ AC’ වේ.



නිල් පැහැති චතුරස්‍රයේ ස්ථානනීය අගයන් වන්නේ 10(AB’) හා 00(C’D’), 01(C’D), 11(CD), 10(CD’) වේ.



A හා B හි අගයන්(1,0)(එනම් A,B’) චතුරස්‍රය පුරා නොවෙනස්ව ඇත.
C හි අගය වෙනස් වී ඇත.එය 0(C) → 0(C) → 1(C) ලෙස වෙනස් වී ඇත.
D හි අගයද 0(D) සිට 1(D),1(D)  ලෙස වෙනස් වී ඇත.



මේ අනුව වෙනස් නොවන අගයන් වන්නේ AB’ වේ.



කොළ පැහැති චතුරස්‍රයේ ස්ථානනීය අගයන් වන්නේ 01(A’B),11(AB) හා 10(CD’) වේ.



A හි අගය 0(A) සිට 1(A)  දක්වා වෙනස්ව ඇත.
B හි අගය 1(B) වෙනස් වී නැත.
C හා D හි අගයද වෙනස් වී නැත.එය 1,0 ලෙසම(එනම් C,D’) පවතී.



මේ අනුව වෙනස් නොවන අගයන් වන්නේ BCD’ වේ.



මේ අනුව සරල කල තාර්කික ප්‍රකාශනය(boolean expression) වන්නේ
F =AC’ + AB’ + BCD’



මේ ක්‍රමයට අපට කානෝ සිතියම් (Karnaugh map) යොදා ගෙන බොහෝ තාර්කික ප්‍රකාශන(boolean expression) සුළුකල හැක.
The following two tabs change content below.

Randika Senanayake

Latest posts by Randika Senanayake (see all)

Comments
  1. Chanaka Wanniarachchi
  2. sandya Fernando
  3. chaminda
    • Amila Weerasekera
  4. shehan
  5. maheshi
  6. Yasitha
  7. VIRaj WICKRamasinghe
  8. තරිදු
  9. Ranshika Mihiram
  10. haritha
  11. Sameera

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.